Zespół powstał jako swego rodzaju happening na koncercie w studenckim klubie Balbina zorganizowanym z Okazji 75 Rocznicy Wynalezienia Damskiego Biustonosza (stąd nazwa).Założycielami byli studenci łódzkiego uniwersytetu Krzysztof Skiba, Jacek Jędrzejak i Roman Lechowicz. Miało to miejsce 8 marca 1988 roku. Impreza miała tak wielkie powodzenie, że postanowiono działać dalej. Od tej pory ich kariera ruszyła. W 1989 roku zakwalifikowali się do festiwalu w Jarocinie a w następnym na Rock Opole. W tym też roku został wydany ich debiutancki album Z PARTYJNYM POZDROWIENIEM. Szokująca była zarówno okładka (podobizna Lenina z punkowym irokezem na głowie) jak i same piosenki przez ich zabawne teksty. Big Cyc jest krytykowany za nienajdoskonalszy warsztat muzyczny jak i za szybko tracące na aktualności (wg niektórych) teksty. Z zespołem współpracowali także inni artyści (Kukiz, Połomski, Maleńczuk, Borysewicz).
Zespół nagrał w sumie siedemnaście albumów:
1.Z PARTYJNYM POZDROWIENIEM – 1990
2. NIE WIERZCIE ELEKTRYKOM ? 1992
3. MIŁOŚĆ, MUZYKA, MORDOBICIE ? 1992
4. WOJNA PLEMNIKÓW ? 1993
5. FRANKENSTEIN?S CHILDREN ? 1994
6. NIE ZAPOMNISZ NIGDY ? 1994
7. GOLONKA, FLAKI I INNE PRZYSMAKI ? 1995
8. Z GITARĄ WŚRÓD ZWIERZĄT – 1996
9.PIERWSZA KOMUNIA, DRUGIE ŚNIADANIE, TRZECIA RZECZPOSPOLITA ? 1997
10.WSZYSCY ŚWIĘCI ? 1998
11. ŚWIAT WEDŁUG KIEPSKICH ? 2000
12. ZMIEŃ Z NAMI PŁEĆ ? 2002
13. BOMBOWE HITY ? 2004
14. MOHEROWE BERETY ? 2006
15. SZMBO I PERFUMERIA ? 2008
16. NA BARYKADZIE ROKĘDROLA ? 2009
17. ZADZWOŃCIE PO MILICJĘ ? 2011.